Воспоминания, изложенные здесь, далеко не полны, ибо охватывают историю лишь одной специфической темы из моей жизни.

Насколько я помню, в философской литературе 50 — 200 лет назад было модным обратное изречение: "восхождение от абстрактного к конкретному". Уже начиная с Гегеля, конкретное считается выше, важнее и значимее, чем абстрактное. Но впрочем, палитра определений этих понятий всегда простиралась в рамках буквально противоположных полюсов. Абстрактное почти всегда и всеми относилось к области понятий и свойств. Конкретное же считалось материальным или идеальным,— в зависимости от философской школы (у последователей Гегеля это всегда идеальное).

Очень мало помню о своём отце. Вот, мне года 4, кажется. Мы с папой стоим возле кучи тлеющих ржавых листьев, от которой идёт лёгкий жар и непередаваемый, фундаментальный какой-то, запах. И стоим мы оба смиренные, задумчивые… А вот мне уже лет 5-6. Мы с отцом вечером, на балконе. Он курит, я смотрю на небо. "Папа, а почему звёзды светятся?" И он объясняет,— долго и многословно. А я жёстко думаю: "Ты не знаешь. Это тайна".

Мы здесь говорим о математике. Поэтому для нас абстрактное — нечто обобщённое, и потому обладающее минимальным числом свойств; например, общая алгебра. Конкретное же есть то, что имеет максимально возможное число свойств; например, арифметика. Или, с одной стороны, теория отношений, и теория бинарного отношения линейного порядка. Последняя теория полна: к ней невозможно добавить ни одной новой аксиомы — возникнет противоречие. Т.е. это предельно конкретная теория. Иное дело — арифметика.

7 лет, школа, развод родителей.

Папа стал зарабатывать левые деньги, ударился в запои и загулы. Маму он стал просто избивать. Так, что на следующий день всё её лицо превращалось в один безобразный синяк. А он, кающийся и трезвый, просил прощения, стоя на коленях. Ну, дело прошлое, наконец-то они разошлись…

Мама работает на полторы ставки, а у меня — полная свобода и самостоятельность.

Следующее рассуждение принадлежит Гёделю. Арифметика — числовая система; внутри неё можно вообще закодировать все наши формальные знания и представить их как свойства чисел. Куда уж конкретнее… Но внутри арифметики можно закодировать и саму арифметику, что позволяет сформулировать в ней парадокс Рассела,— внутренне противоречивое утверждение. Следовательно, арифметика принципиально неполна, её нельзя конкретизировать полностью.

Дальше моя жизнь шла по двум независимым направлениям. Я расту как социопат с лидерскими наклонностями: мелкое существо, не знавшее слова "нельзя", потихоньку собирает вокруг себя таких же шалопаев. Мы дразним взрослых, бьём стёкла на первых (а потом и на вторых) этажах, дерёмся с мальчишками из соседних домов… И вся эта бурная деятельность освящена какими-то странными представлениями о "правде и справедливости". Подобных компаний было много. Некоторые из этих ребят, взрослея, благополучно забывали своё бурное детство. Другие же погружались в бурную юность, часто пополняя потом тюремное население. Понятно, что такие,— либо жили недолго, либо становились начальниками и олигархами.

И в то же время, любой арифметический вопрос разрешим экспериментально, материально: достаточно неограниченно вводить компьютерные мощности (формально,— это всё тот же аналог школьных счётных палочек). Т.е. — предельно конкретизировать арифметику можно лишь вещественно, материально, но не формально. Но даже эта конкретизация никогда не достигает своего фактического предела: эксперимент настолько же потенциально бесконечен, как и теория.

Но была и другая сторона моей непутёвой жизни. Я много читал,— в основном зарубежную фантастику и (так называемую) классическую литературу. А что ещё можно было читать после хрущёвской перестройки? Однажды, совершенно случайно, я наткнулся на серьёзную научную литературу по физике и математике. Для меня это было откровением. Оказывается, мир полон сложностей и загадок, перед которыми ненужными и мелкими становятся все мои заботы и повседневные интересы.

Но обратимся к нашей теме, — идеалы. Во всякой алгебраической структуре с бинарной операцией (с "умножением") идеалом называют подмножество её элементов, которое сохраняется при его умножении на все элементы алгебры. Например, в арифметике таковым будет множество всех чисел, кратных данному простому числу. Причём, если к этому идеалу принадлежит произведение двух чисел, то к нему принадлежит и один сомножителей; это определение, так называемого, простого идеала (не путать с простым числом). Такие идеалы являются "очень большими", в том смысле, что полностью содержат одну из цепочек делителей любого своего элемента. Во многих алгебрах они и в самом деле являются, в некотором смысле, максимальными идеалами. Есть среди арифметических идеалов и тривиальные (это {0} и N,— множество всех чисел).

Так из малолетнего хулигана я постепенно стал превращаться в "книжного червяка". Замкнулся в себе, растерял друзей, быстро потерял боевые уличные навыки. Впрочем, настоящим ботаном я никогда не был. В итоге из меня получился хитрый, изворотливый подросток с антисоциальными наклонностями, всерьёз вознамерившийся познать Истину. Никак ни меньше.

А что, если идеал таков, что вместе с произведением каждой тройки: (x _* y _* z) он всегда содержит и произведение одной из последовательных пар: (x _* y) или (y _* z) ? Такой идеал я называю ассоциативным. Некоторые из свойств таких идеалов я пытаюсь исследовать в статье: Associative ideals in monoids

И вот, я уже взрослый. 80-е годы. Работаю над тем, о чём пишу здесь и сейчас. Уже знаю, что никогда не достигну своих мечтаний — силёнок маловато. Но и не считаю это поводом для депрессий. Потому, что я счастлив. У меня любимая жена, отличный рыжий кот, интересное занятие. Живём, правда, впроголодь, но мало это замечаем. Мы почти свободны, а это главное. К маме звонит папа, просит прощения, хочет вернуться. Я взял телефонную трубку, не сказал ничего плохого, но говорил с ним таким тоном, что он разрыдался и прекратил разговор. Через пару лет он умер от рака. Жаль, что он ушёл от мамы — красивая была пара. Они были похожи на пару из: Призрак оперы.

Примером ассоциативного идеала в арифметике является множество всех чисел, кратных двум простым числам. Здесь, однако, надо сделать одно уточнение. Вместе с (x _* y _* z) он содержит одну из пар: (x _* y), (y _* z), или (z _* x). Эта особенность, всё же, несущественна,— так как арифметическое умножение коммутативно. В общем же случае умножение не является коммутативным.

90-е годы. Жить впроголодь уже не получается,— так можно только умирать. Мы начинаем заниматься торговлей. Сравнительно нормальный заработок для наших скромных потребностей. Но работать надо много, непрестижно и беспросветно. Свободного времени нет. Зато я могу потакать своим гедоническим наклонностям: алкоголь, дорогие сигары, приличная одежда и вкусная еда. Иногда продолжаю думать о математике.

Ассоциативные идеалы являются следующими в "градации по величине" после простых идеалов, так как тоже содержат некоторые из делителей своих элементов. Но, помимо некоторых интересных математических свойств, чем же ещё могут привлечь внимание ассоциативные идеалы? Наиболее общим алгебраическим объектом, изучающим умножение является полугруппа (множество с ассоциативной бинарной операцией), или моноид (полугруппа с единицей). Какова роль ассоциативности умножения? Благодаря ей мы можем не расставлять скобки в последовательностях умножаемых друг на друга элементов,— результат перемножения последовательности однозначен.

Нулевые годы. Бизнес начинает медленно чахнуть (процесс затянулся надолго). Я тоже медленно возвращаюсь к своей математике. Умирает мама, умирает наш кот… Я начинаю чувствовать, что уже простил своего отца. Вообще, уходят многие родственники и друзья. И процесс погружения в наше семейное одиночество продолжается по сей день.

И здесь мы подошли к нестандартным последовательностям. Нестандартные понятия являются необычными, неожиданными интерпретациями вполне обычных математических понятий. Это позволяет непротиворечивым способом моделировать противоречия, которые часто встречаются в природе, но невозможны в мышлении. Последовательности переменных являются одним из фундаментов математики. Я хочу предложить последовательности, которые не всегда существуют, но обладают всеми свойствами обычных последовательностей. Следует заметить, что последовательная запись символов (т.е. — слова, составленные из символов) есть не что иное, как одна из операций умножения в моноидах или полугруппах.

Nostradame

И вот, помимо прочих, второстепенных свойств последовательностей, наиболее интересным является ассоциативное свойство:

Последовательность из трёх элементов (x y z) существует тогда и только тогда, когда существуют обе её подпоследовательности из двух элементов (x y) и (y z) .

Однако, мы снова счастливы. И свободны, несмотря на явное неодобрение общества и государства. Неодобрение, впрочем, взаимное.

Зверь,— так меня однажды назвал один из моих ушедших друзей. Обычно при встрече мы обменивались сухой ритуальной фразой: "Ну, привет!". Но однажды он вдруг остановился, завис в какой-то непонятной паузе и тихо сказал: "Привет, зверь…" Если я и заслуживаю столь лестной характеристики, то скорее, похож на кота…

Звучит это просто, но имеет важные следствия для математики. Это свойство и моделируется в ассоциативных идеалах и их дополнениях. Вот, собственно, и всё об одном из небольших  восхождений от конкретного (арифметика) к абстрактному (нестандартные последовательности). Для тех кому интересно, данную тему я изложил подробно в статье Predicates and terms from non-standard sequences